一、单项选择题

（共 15 题，每题 2 分，共计 30 分；每题有且仅有一个正确选项）

第 1 题

有 5 个红色球和 5 个蓝色球，它们除了颜色之外完全相同。将这 10 个球排成一排，要求任意两个蓝色球都不能相邻，有多少种不同的排列方法？

{{ select(1) }}

• 25
• 30
• 6
• 120

第 2 题

在 KMP 算法中，对于模式串 P="abacaba"，其 next 数组（$next[i]$ 定义为模式串 $P[0\ldots i]$ 最长公共前后缀的长度，且数组下标从 0 开始）的值是什么？

{{ select(2) }}

• {0, 0, 1, 0, 1, 2, 3}
• {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
• {0, 0, 1, 1, 2, 2, 3}
• {0, 0, 0, 0, 1, 2, 3}

第 3 题

对一个大小为 16（下标 0-15）的数组构建满线段树。查询区间 $[3,11]$ 时，最少需要访问多少个树结点（包括路径上的父结点和完全包含在查询区间内的结点）？

{{ select(3) }}

• 7
• 8
• 9
• 10

第 4 题

将字符串 "cat"、"car"、"cart"、"case"、"dog"、"do" 插入一个空的 Trie 树（前缀树）中。构建完成的 Trie 树（包括根结点）共有多少个结点？

{{ select(4) }}

• 8
• 9
• 10
• 11

第 5 题

对于一个包含 $n$ 个结点和 $m$ 条边的有向无环图（DAG），其拓扑排序的结果有多少种可能？

{{ select(5) }}

• 只有 1 种
• 最多 $n$ 种
• 等于 $n-m$ 种
• 以上都不对

第 6 题

在一个大小为 13 的哈希表中，使用闭散列法的线性探查来解决冲突。哈希函数为 $H(key)=key\bmod 13$。依次插入关键字 18、26、35、9、68、74。插入 74 后，它最终被放置在哪个索引位置？

{{ select(6) }}

• 5
• 7
• 9
• 11

第 7 题

一个包含 8 个顶点的完全图（顶点编号为 1 到 8），任意两点之间的边权重等于两顶点编号之差的绝对值。例如，顶点 3 和 7 之间的边权重为 $|7-3|=4$。该图的最小生成树总权重是多少？

{{ select(7) }}

• 7
• 8
• 9
• 10

第 8 题

如果一棵二叉搜索树的后序遍历序列是 2、5、4、8、12、10、6，那么该树的前序遍历是什么？

{{ select(8) }}

• 6、4、2、5、10、8、12
• 6、4、5、2、10、12、8
• 2、4、5、6、8、10、12
• 12、8、10、5、2、4、6

第 9 题

一个 0-1 背包问题，背包容量为 20。现有 5 个物品，其重量分别为 7、5、4、3、6，价值分别为 15、12、9、7、13。装入背包的物品能获得的最大总价值是多少？

{{ select(9) }}

• 43
• 41
• 45
• 44

第 10 题

在一棵以结点 1 为根的树中，结点 12 和结点 18 的最近公共祖先（LCA）是结点 4。那么下列哪个结点的 LCA 组合是不可能出现的？

{{ select(10) }}

• $LCA(12,4)=4$
• $LCA(18,4)=4$
• $LCA(12,18,4)=4$
• $LCA(12,1)=4$

第 11 题

递归关系式 $T(n)=2T(n/2)+O(n^2)$ 描述了某个分治算法的时间复杂度。请问该算法的时间复杂度是多少？

{{ select(11) }}

• $O(n)$
• $O(n\log n)$
• $O(n^2)$
• $O(n^2\log n)$

第 12 题

在一个初始为空的最小堆（min-heap）中，依次插入元素 20、12、15、8、10、5，然后连续执行两次“删除最小值”（delete-min）操作。请问此时堆顶元素是什么？

{{ select(12) }}

• 10
• 12
• 15
• 20

第 13 题

1 到 1000 之间，不能被 2、3、5 中任意一个数整除的整数有多少个？

{{ select(13) }}

• 266
• 267
• 333
• 734

第 14 题

斐波那契数列的定义为 $F(0)=0$，$F(1)=1$，$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$。使用朴素递归方法计算 $F(n)$ 的时间复杂度是指数级的，而使用动态规划（或迭代）方法的时间复杂度是线性的。造成这种巨大差异的根本原因是？

{{ select(14) }}

• 递归函数调用栈开销过大
• 操作系统对递归深度有限制
• 朴素递归中存在大量的重叠子问题未被重复利用
• 动态规划使用了更少的数据存储空间

第 15 题

有 5 个独立的、不可抢占的任务 A1、A2、A3、A4、A5 需要在一台机器上执行（从时间 0 开始执行），每个任务对应的处理时长依次为 3、4、2、5、1，截止时刻依次为 5、10、3、15、11。如果某一个任务超时，相应的惩罚等于其处理时长。为了最小化总惩罚，应该优先执行哪个任务？

{{ select(15) }}

• 处理时间最短的任务 A5
• 截止时间最早的任务 A3
• 处理时间最长的任务 A4
• 任意一个任务都可以

二、阅读程序

（程序输入不超过数组或字符串定义的范围；判断题正确选“正确”，错误选“错误”；除特殊说明外，判断题 1.5 分，选择题 3 分，共计 40 分）

阅读程序（一）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>

bool flag[27];
int n;
int p[27];
int ans = 0;

void dfs(int k) {
    if (k == n + 1) {
        ++ans;
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (flag[i]) continue;
        if (k > 1 && i == p[k - 1] + 1) continue;
        p[k] = i;
        flag[i] = true;
        dfs(k + 1);
        flag[i] = false;
    }
    return;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    dfs(1);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

1.（1 分）当输入的 $n=3$ 的时候，程序输出的答案为 3。

{{ select(16) }}

• 正确
• 错误

2. 在 dfs 函数运行过程中，$k$ 的取值会满足 $1\le k\le n+1$。

{{ select(17) }}

• 正确
• 错误

3. 删除第 19 行的 flag[i] = false;，对答案不会产生影响。

{{ select(18) }}

• 正确
• 错误

4. 当输入的 $n=4$ 的时候，程序输出的答案为（ ）。

{{ select(19) }}

• 11
• 12
• 24
• 9

5. 如果因为某些问题，导致程序运行第 25 行的 dfs 函数之前，数组 p 的初值并不全为 0，则对程序的影响是（ ）。

{{ select(20) }}

• 输出的答案比原答案要小
• 无法确定输出的答案
• 程序可能陷入死循环
• 没有影响

6. 假如删去第 14 行的 if (flag[i]) continue;，输入 3，得到的输出答案是（ ）。

{{ select(21) }}

• 27
• 3
• 16
• 12

阅读程序（二）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define ll long long

int cnt_broken = 0;
int cnt_check = 0;
int n, k;

inline bool check(int h) {
    printf("now check:%d\n", h);
    ++cnt_check;
    if (cnt_broken == 2) {
        printf("You have no egg!\n");
        return false;
    }
    if (h >= k) {
        ++cnt_broken;
        return true;
    } else {
        return false;
    }
}

inline bool assert_ans(int h) {
    if (h == k) {
        printf("You are Right using %d checks\n", cnt_check);
        return true;
    } else {
        printf("Wrong answer!\n");
        return false;
    }
}

inline void guess1(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (check(i)) {
            assert_ans(i);
            return;
        }
    }
}

inline void guess2(int n) {
    int w = 0;
    for (w = 1; w * (w + 1) / 2 < n; ++w)
        ;
    for (int ti = w, nh = w;; --ti, nh += ti, nh = std::min(nh, n)) {
        if (check(nh)) {
            for (int j = nh - ti + 1; j < nh; ++j) {
                if (check(j)) {
                    assert_ans(j);
                    return;
                }
            }
            assert_ans(nh);
            return;
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int t;
    scanf("%d", &t);
    if (t == 1) {
        guess1(n);
    } else {
        guess2(n);
    }
    return 0;
}

注意：下述的“猜测数”为调用 check 函数的次数（即 cnt_check 的值）；“猜测正确”的含义为 assert_ans 函数返回 true（执行第 25 行所在分支）的情况；所有输入保证 $1\le k\le n$。

1. 当输入为 6 5 1 时，猜测次数为 5；当输入 6 5 2 时，猜测次数为 3。

{{ select(22) }}

• 正确
• 错误

2. 不管输入的 $n$ 和 $k$ 具体为多少，$t=2$ 时的猜测数总是小于等于 $t=1$ 时的猜测数。

{{ select(23) }}

• 正确
• 错误

3. 不管 $t=1$ 或 $t=2$，程序都一定会猜到正确结果。

{{ select(24) }}

• 正确
• 错误

4. 函数 guess1 在运行过程中，cnt_broken 的值最多为（ ）。

{{ select(25) }}

• 0
• 1
• 2
• $n$

5. 函数 guess2 在运行过程中，最多使用的猜测次数的量级为（ ）。

{{ select(26) }}

• $O(n)$
• $O(n^2)$
• $O(\sqrt n)$
• $O(\log n)$

6. 当输入的 $n=100$ 的时候，代码中 $t=1$ 和 $t=2$ 分别需要的猜测次数最多分别为（ ）。

{{ select(27) }}

• 100，14
• 100，13
• 99，14
• 99，13

阅读程序（三）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>

#define ll long long

int n, m;
std::vector<int> k, p;

inline int mpow(int x, int k) {
    int ans = 1;
    for (; k; k = k >> 1, x = x * x) {
        if (k & 1)
            ans = ans * x;
    }
    return ans;
}

std::vector<int> ans1, ans2;
int cnt1, cnt2;

inline void dfs(std::vector<int>& ans, int& cnt, int l, int r, int v) {
    if (l > r) {
        ++cnt;
        ans.push_back(v);
        return;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        dfs(ans, cnt, l + 1, r, v + k[l] * mpow(i, p[l]));
    }
    return;
}

std::vector<int> cntans1;

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    k.resize(n + 1);
    p.resize(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d%d", &k[i], &p[i]);
    }
    dfs(ans1, cnt1, 1, n >> 1, 0);
    dfs(ans2, cnt2, (n >> 1) + 1, n, 0);
    std::sort(ans1.begin(), ans1.end());
    int newcnt1 = 1;
    cntans1.push_back(1);
    for (int i = 1; i < cnt1; ++i) {
        if (ans1[i] == ans1[newcnt1 - 1]) {
            ++cntans1[newcnt1 - 1];
        } else {
            ans1[newcnt1++] = ans1[i];
            cntans1.push_back(1);
        }
    }
    cnt1 = newcnt1;
    std::sort(ans2.begin(), ans2.end());
    int las = 0;
    ll ans = 0;
    for (int i = cnt2 - 1; i >= 0; --i) {
        for (; las < cnt1 && ans1[las] + ans2[i] < 0; ++las)
            ;
        if (las < cnt1 && ans1[las] + ans2[i] == 0)
            ans += cntans1[las];
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

1. 删除第 51 行的 std::sort(ans2.begin(), ans2.end()); 后，代码输出的结果不会受到影响。

{{ select(28) }}

• 正确
• 错误

2. 假设计算过程中不发生溢出，函数 mpow(x,k) 的功能是求出 $x^k$ 的取值。

{{ select(29) }}

• 正确
• 错误

3. 代码中第 39 行到第 50 行的目的是为了将 ans1 数组进行“去重”操作。

{{ select(30) }}

• 正确
• 错误

4. 当输入为 3 15 1 2 -1 2 1 2 时，输出结果为（ ）。

{{ select(31) }}

• 4
• 8
• 0
• 10

5. 记程序结束前 p 数组元素的最大值为 $P$，则该代码的时间复杂度是（ ）。

{{ select(32) }}

• $O(n)$
• $O(m^n\log m^n)$
• $O(m^{n/2}\log m^{n/2})$
• $O\left(m^{n/2}(\log m^{n/2}+\log P)\right)$

6. 本题所求出的是（ ）。

{{ select(33) }}

• 满足 $a,b,c\in[1,m]$ 的整数方程 $a^3+b^3=c^3$ 的解的数量
• 满足 $a,b,c\in[1,m]$ 的整数方程 $a^2+b^2=c^2$ 的解的数量
• 满足 $x_i\in[0,m]$ 的整数方程 $\sum_{i=1}^{n}k_ix_i^{p_i}=0$ 的解的数量
• 满足 $x_i\in[1,m]$ 的整数方程 $\sum_{i=1}^{n}k_ix_i^{p_i}=0$ 的解的数量

三、完善程序

（单选题，每小题 3 分，共计 30 分）

完善程序（一）

（特殊最短路）给定一个含 $n$ 个点、$m$ 条边的带权无向图，边权非负。起点为 $s$，终点为 $t$。对于一条 $s$ 到 $t$ 的路径，可以在整条路径中至多选择一条边作为“免费边”：当第一次经过这条被选中的边时，费用视为 0；如果之后再次经过该边，则仍按其原始权重计费。点和边均允许重复经过。求从 $s$ 到 $t$ 的最小总费用。

以下代码求解了上述问题。试补全程序。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const long long INF = 1e18;

struct Edge {
    int to;
    int weight;
};

struct State {
    long long dist;
    int u;
    int used_freebie;
    bool operator>(const State &other) const {
        return dist > other.dist;
    }
};

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;

    vector<vector<Edge>> adj(n + 1);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
        adj[v].push_back({u, w});
    }

    vector<vector<long long>> d(n + 1, vector<long long>(2, INF));
    priority_queue<State, vector<State>, greater<State>> pq;

    d[s][0] = 0;
    pq.push({0, s, ①});

    while (!pq.empty()) {
        State current = pq.top();
        pq.pop();

        long long dist = current.dist;
        int u = current.u;
        int used = current.used_freebie;

        if (dist > ②) {
            continue;
        }

        for (const auto &edge : adj[u]) {
            int v = edge.to;
            int w = edge.weight;

            if (d[u][used] + w < ③) {
                ③ = d[u][used] + w;
                pq.push({③, v, used});
            }

            if (used == 0) {
                if (④ + w < d[v][1]) {
                    d[v][1] = ④ + w;
                    pq.push({d[v][1], v, 1});
                }
            }
        }
    }

    cout << ⑤ << endl;
    return 0;
}

1. ①处应填（ ）。

{{ select(34) }}

• 0
• 1
• -1
• false

2. ②处应填（ ）。

{{ select(35) }}

• d[u][!used]
• d[u][used]
• d[t][used]
• INF

3. ③处应填（ ）。

{{ select(36) }}

• d[v][1]
• d[v][used]
• d[u][used]
• d[v][0]

4. ④处应填（ ）。

{{ select(37) }}

• d[v][0]
• d[v][1]
• d[u][0]
• d[u][1]

5. ⑤处应填（ ）。

{{ select(38) }}

• d[t][1]
• d[t][0]
• min(d[t][0], d[t][1])
• d[t][0] + d[t][1]

完善程序（二）

工厂打算通过客户反馈来间接测试生产线，从而找到存在缺陷的生产线。工厂有 $n$ 条生产线（编号 $0\sim n-1$），已知其中恰有一条生产线存在缺陷。每一轮测试为：从若干生产线的产品取样，混合成一个批次发给客户。若该批次中包含缺陷生产线的产品，客户将要求退货（结果记为 1），否则正常收货（记为 0）。受售后压力限制，在所有发货批次中，最多只能有 $k$ 次退货（即结果为 1 的次数不超过 $k$）。工厂的目标是，设计最少的间接测试轮数 $w$（发货总批次），保证根据客户收货或退货的反馈结果，唯一确定存在缺陷的生产线。

以下程序实现了工厂的目标，包含两部分：

1. 确定 $w$ 的最小值，并设计最优测试方案；
2. 根据测试结果推断存在缺陷的生产线。

该程序确定 $w$ 最小值的方法为：由于不同的生产线故障时，测试应当返回不同的结果，因此 $w$ 轮测试的可能结果数不应少于生产线数量。

test_subset() 函数为抽象测试接口，输入所有批次的方案并返回一个二进制编码；该编码表示每批次的检测结果（最低位是第 1 批次、最高位是第 $w$ 批次）；其实现未在此处给出。

试补全程序。

#include <algorithm>
#include <cstddef>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

long long comb(int w, int i) {
    if (i < 0 || i > w) {
        return 0;
    }
    long long res = 1;
    for (int t = 1; t <= i; ++t) {
        res = res * (w - t + 1) / t;
    }
    return res;
}

long long count_patterns(int w, int k) {
    long long total = 0;
    for (int t = 0; t <= min(w, k); ++t) {
        total += comb(w, t);
    }
    return total;
}

int test_subset(const vector<vector<int>> &plan);

int solve(int n, int k) {
    int w = 1;
    while (①) {
        ++w;
    }
    cout << w << endl;

    vector<vector<int>> code(n, vector<int>(w, 0));
    int idx = 0;
    for (int ones = 0; ones <= k && idx < n; ++ones) {
        vector<int> bits(w, 0);
        fill(bits.begin(), bits.begin() + ones, 1);
        do {
            for (int b = 0; b < w; ++b) {
                code[idx][b] = bits[b];
            }
            ++idx;
            if (idx >= n) {
                break;
            }
        } while (②);
    }

    vector<vector<int>> plan(w);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (③) {
                plan[i].push_back(j);
            }
        }
    }

    int signature = test_subset(plan);
    vector<int> sig_bits(w, 0);
    for (int i = 0; i < w; ++i) {
        if (④) {
            sig_bits[i] = 1;
        }
    }

    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        if (⑤) return j;
    }
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    int ans = solve(n, k);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

1. ①处应填（ ）。

{{ select(39) }}

• (1 << w) < n
• count_patterns(w, k) < n
• count_patterns(k, w) < n
• comb(w, k) < n

2. ②处应填（ ）。

{{ select(40) }}

• next_permutation(bits.begin(), bits.end())
• prev_permutation(bits.begin(), bits.end())
• next_permutation(bits.begin(), bits.begin() + ones)
• prev_permutation(bits.begin(), bits.begin() + ones)

3. ③处应填（ ）。

{{ select(41) }}

• (j >> i) & 1
• (i >> j) & 1
• code[i][j] == 1
• code[j][i] == 1

4. ④处应填（ ）。

{{ select(42) }}

• (signature >> i) & 1
• (signature >> i) ^ 1
• signature | (1 << i)
• (signature >> i) | 1

5. ⑤处应填（ ）。

{{ select(43) }}

• is_permutation(code[j].begin(), code[j].end(), sig_bits.begin())
• code[j] == sig_bits
• plan[j] == sig_bits
• code[j][i] == sig_bits[i]

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来源：2025 年 CCF 非专业级别软件能力认证第一轮（CSP-S1）C++ 语言试题。